前回に引き続き、新しく作った数字について考えてみます。

まずは数字の作り方を、例を挙げながらもう一度説明します。

無理数 Π/10 = 0.31415926535・・・

の数字の小数1位を1の位へ、小数2位を十の位へ、小数3位を百の位へ、以下・・・・
(この操作を以降 写鏡と呼びます)

すると上記の数字は
・・・53562951413  K(Π/10) と言う数字ができます。

果たして、この数字は自然数でしょうか。

実数には、超越数、無理数、有理数、整数、そして自然数があります。

小数点以下の数字がないので、自然数ではないかと考えてみます。

自然数とは何なのか、(以下Wikipedia 参照)

自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義可能な公理として提示されたものにペアノの公理があり(1891年ジュゼッペ・ペアノ)、以下のように自然数を定義することができる。

  • 自然数 1 が存在する。
  • 任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の “意味”)。
  • 異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり ab のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。(ある種の単射性)
  • 1 はいかなる自然数の後者でもない(1 より前の自然数は存在しない)。
  • 1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

上記、条件について検討してみます。

はじめに「自然数1が存在する」、この条件には当てはまっていそうです。
K(Π/10) =・・・53562951413  は、1が3つ、10が1つ、100が4つ、以下・・・
によりできている数字です。

次に「任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する」ですが、
これも、K(Π/10) +1 = ・・・53562951414 と言う数字が存在します。

3番目の「1 はいかなる自然数の後者でもない」という条件と、K(Π/10)の存在は矛盾しないように思います。

最後の「1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。」この条件については、理解が浅いので詳しくは考察できませんが、先の条件の「自然数1が存在する」と「任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する」点を満たしているので、クリアしているのではないかと思います。

上記のような、詳細を欠いた直感による考察ではありますが、K(Π/10)は自然数になります。

しかし、自然数と言うのは、物を数え上げるときの数字、つまり大きさが決まった数字だとすると、このK(Π/10)は大きさが無限大なので自然数とは違うようにも思います。

簡単な考察ですが、面白い数字だと思います。